סילבוס

תוכן הקורס ומטרתו

היקף: 4 שעות הרצאה + 2 שעות תרגול

1. מושגים בסיסיים בקבוצות. סדרות: סדרה מונוטונית, סדרה חסומה, גבול של סדרה, התכנסות, התבדרות, יחידות ואריתמטיקה של גבולות, כלל הסנדוויץ', המספר e כגבול, תת-סדרה, משפט Bolzano-Weierstrass, תנאי Cauchy.
2. טורים , טורים מתכנסים ומתבדרים, קריטריוני התכנסות, מבחני התכנסות: השוואה, מנה, שורש, משפט Leibniz, התכנסות בהחלט ובתנאי.
3. פונקציות: הגדרה, תחום הגדרה, טווח, תמונה, גרף, מונוטוניות, מחזוריות, זוגיות, חד חד ערכיות, פונקציה הפוכה. פונקציה מורכבת, פונקציה חסומה, חסם עליון , חסם תחתון, מקסימום, מינימום, סופרימום, אינפימום.
4. פונקציות אלמנטריות: פולינום. פונקציה מעריכית, לוגריתמים. פונקציות טריגונומטריות, פונקציות הפוכות לפונקציות טריגונומטריות. פונקציות היפרבוליות.
5. מושג הגבול לפי קושי ולפי היינה. גבולות אינסופיים וגבול באינסוף. רציפות של פונקציה, רציפות במידה שווה (uniform continuity). גבולות ורציפות חד-צדדיים, מיון של נקודות אי-רציפות. רציפות של הפונקציות האלמנטריות. משפט ערך ביניים, משפט Weierstrass
6. הגדרת הנגזרת, משפט אריתמטיקה,, נגזרות של פונקציות אלמנטריות , פונקציית הנגזרת, נגזרות מסדר גבוה.
7. כלל השרשרת, נגזרת של פונקציה הפוכה, משוואת המשיק.
8. משפטי רול ולגרנז' .
9. נוסחת Taylor והוכחת נוסחתTaylor עם שארית Lagrange. כלל l?Hospital.
10. קיצון מקומי, משפט פרמה, קיצון מוחלט, תחומי עליה וירידה, קמירות, קעירות ונקודות פיתול, אסימפטוטות, חקירת פונקציות.
11. אינטגרל לא מסוים, אריתמטיקה של אינטגרלים. אינטגרל מסוים ושטח. המשפט היסודי של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. החלפת משתנים באינטגרל מסוים ולא מסוים. שיטות אינטגרציה: הצבה, אינטגרציה בחלקים, פונקציות רציונליות.
12. יישומים של אינטגרלים: חישוב אורך קשת, שטח, נפח של גוף סיבוב, מומנטים, מרכז מסה.
13. אינטגרלים לא אמיתיים.

הדיון בנושאים הבאים יצומצם או יושמט בשנת תשפ"ד עקב קיצור הסמסטר:

1. שורש 2 אינו מספר רציונלי.
2. צפיפות מספרים רציונלים ומספרים אי-רציונלים.
3. אפיון סופרמום/אינפימום באמצעות אפסילון
4. הוכחת אי-קיום גבול לפי ההגדרה (שלילת הגדרת גבול)
5. מבחן השורש ומבחן המנה עבור סדרות (כן בחומר עבור טורי מספרים).
6. גבול של סדרה רקורסיבית.
7. תנאי קושי להתכנסות של סדרה.
8. סדרת קושי.
9. טכניקת היפוך פונקציות (יש להכיר את המושגים פונקציה הפיכה ופונקציה הפוכה).
10. תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה.
11. רציפות במידה שווה.
12. כלל לייבניץ לנגזרת מסדר גבוה של מכפלה.
13. הגבלת מספר פתרונות של משוואה בעזרת משפט רול.
14. קמירות/קעירות, נקודות פיתול, אסימפטוטות.
15. משפט טיילור עבור השארית בצורת פיאנו.
16. סכומי דרבו.
17. אינטגרל עליון ותחתון (יש להכיר סכומי רימן ואת נוסח רימן לאינטגרביליות).
18. הכנסה והוצאה של סוגריים בטור מספרים אינסופי.
19. שינוי סדר סכימה בטור מספרים אינסופי.