סילבוס

תוכן הקורס ומטרתו

(1) יסודות של אלגברת פולינומים.
חוג של פולינומים במשתנה אחד. חילוק פולינומים. המחלק המשותף המקסימלי. פירוק לגורמים אי-פריקים. שורשים. משפט Bezout. שורשי פולינומים מרוכבים, המשפט היסודי של אלגברה. שורשי פולינומים ממשיים ורציונליים. שורשים מרובים ונגזרת.

(2) ליכסון של אופרטורים ליניאריים, צורת Jordan.
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של אופרטור ליניארי ומטריצה ריבועית. פולינום אופייני. פולינום מינימלי. משפט Cayley-Hamilton. ריבוי אלגברי וגיאומטרי של ערך עצמי. אופרטורים ליניאריים ומטריצות ריבועיות הניתנים לליכסון. צורת Jordan ובסיס Jordan. צורת Jordan מעל ממשיים.

(3) מרחבים אוקלידיים ויוניטריים.
מכפלה פנימית. אי-שיוון Cauchy-Schwarz. נורמה ומרחק. מטריצת Gram. מכפלה פנימית בקואורדינטות. בסיס אורתונורמלי. אורתוגונליזצית Gram-Schmidt. מטריצות אורתוגונליות ויוניטריות. משלים ניצב.

(4) אופרטורים ליניאריים במרחב מכפלה פנימית.
דוגמאות: פונקציונל ליניארי, איזומטריה, אופרטור שומר זווית, אופרטור שומר נפח. אופרטור צמוד. אופרטור צמוד לעצמו. אופרטור נורמלי. ליכסון של אופרטור נורמלי. דוכמאות: ליכסון של אופרטור צמוד לעצמו, אופרטור אורתוגונלי, אופרטור יוניטרי.

(5) תבניות דו-ליניאריות וריבועיות.
הגדרות ודוגמאות. תבניות דו-ליניאריות וריבועיות בקואורדינטות. תבניות דו-ליניאריות ופונקציונלים ליניאריים. תהליך Lagrange של ליכסון תבנית ריבועית. תבניות ריבועיות מרוכבות וממשיות. משפט Sylvester. דרגה וסיגנטורה של תבנית ריבועית. תבנית ריבועית חיובית לחלוטין. ליכסון תבניות ריבועיות ממשיות בעזרת טרנספורמציות אורתוגונליות. ליכסון סימולטני של שתי תבניות ריבועיות. ליכסון תבניות אנטי-סימטריות. מיון של עקומות ומשטחים מדרגה שתיים.

דרישות קדם: אלגברה ליניארית 1.

ספרי לימוד:
S. Lang. Linear algebra.
G. Strang. Linear algebra and its applications.
K. Hoffman, R. Kunze. Linear algebra.
A. Kostrikin, Yu. Manin. Linear algebra and geometry.
אלגברה ליניארית בהוצאת שאום.
ש' עמיצור. אלגברה א'.
י' גולן. יסודות האלגברה הליניארית.